高等数学常用公式

积分的旋转体公式

1. 圆盘法（Disk Method）

适用于绕坐标轴旋转的函数。

1. 绕x轴旋转

   \[V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx\]

   其中：

   • \(f(x)\) 是曲线的函数
   • \(x\) 在区间 \([a,b]\) 上
   • 体积是无穷多个薄圆盘的体积之和

2. 绕y轴旋转

   \[V = \pi \int_{c}^{d} [g(y)]^2 dy\]

   其中：

   • \(g(y)\) 是曲线的反函数 \(x = g(y)\)
   • \(y\) 在区间 \([c,d]\) 上

2. 圆环法（Washer Method）

适用于由两个函数围成的区域旋转。

\[V = \pi \int_{a}^{b} \left( [R(x)]^2 - [r(x)]^2 \right) dx\]

其中：

• \(R(x)\) 是外层曲线的半径
• \(r(x)\) 是内层曲线的半径
• 体积是无穷多个圆环的体积之和

3. 柱壳法（Shell Method）

适用于区域绕y轴旋转，或圆盘法积分较难计算的情况。

1. 绕y轴旋转

   \[V = 2\pi \int_{a}^{b} x f(x) dx\]

   其中：

   • \(x\) 是柱壳的半径
   • \(f(x)\) 是柱壳的高度
   • 体积是无穷多个圆柱壳的体积之和

2. 绕x轴旋转

   \[V = 2\pi \int_{c}^{d} y g(y) dy\]

   其中：

   • \(y\) 是柱壳的半径
   • \(g(y)\) 是柱壳的高度

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微分方程

一阶微分方程

形式： \(\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)\)

通解： \(y = e^{-\int P(x) \, dx} \left( \int Q(x)e^{\int P(x) \, dx} \, dx + C \right)\)

二阶微分方程

形式： \(\frac{d^2y}{dx^2} + P(x)\frac{dy}{dx} + Q(x)y = f(x)\)

通解

1. 不同实根： \(y_c = C_1 e^{r_1x} + C_2 e^{r_2x}\)

2. 单一重根： \(y_c = (C_1 + C_2x)e^{r_1x}\)

3. 共轭复根： \(y_c = e^{\alpha x} \left( C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x) \right)\)

特解

设 $ f(x) = e^{\lambda x} P_m(x) $

1. 无根： \(y^* = e^{\lambda x} Q_m(x)\)

2. 单根： \(y^* = x e^{\lambda x} Q_m(x)\)

3. 重根： \(y^* = x^2 e^{\lambda x} Q_m(x)\)

常用等价无穷小公式

基本等价无穷小:

1.\(\sin x \sim x\)

2.\(\tan x \sim x\)

3.\(e^x - 1 \sim x\)

4.\(\ln(1+x) \sim x\)

5.\(\sin x \sim x - \frac{x^3}{6}\)

6.\(\tan x \sim x + \frac{x^3}{3}\)

7.\(e^x - 1 \sim x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}\)

8.\(\sqrt{1+x} - 1 \sim \frac{x}{2}\)

9.\(\frac{1}{1+x} \sim 1 - x\)

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常用麦克劳林展开公式

\[f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + ... + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + R_n(x)\]

1. 几何级数： \(\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n \quad (|x| < 1)\)

2. 指数函数： \(e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}\)

3. 正弦函数： \(\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}\)

4. 余弦函数： \(\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}\)

5. 自然对数： \(\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}x^n}{n} \quad (|x| < 1)\)

6. 反正切函数： \(\tan^{-1} x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} \quad (|x| \leq 1)\)